已知函数f(x)=ax3+cx+d (a≠0)是R上的奇函数,当x=1时,f(x)取得极值-2. (1)求函数f(x)的解析式. (2)求函数f(x)的单调区间和极大值. (3)证明:对任意x1,x2

已知函数f(x)=ax3+cx+d (a≠0)是R上的奇函数,当x=1时,f(x)取得极值-2. (1)求函数f(x)的解析式. (2)求函数f(x)的单调区间和极大值. (3)证明:对任意x1,x2

题目
已知函数f(x)=ax3+cx+d (a≠0)是R上的奇函数,当x=1时,f(x)取得极值-2.
(1)求函数f(x)的解析式.
(2)求函数f(x)的单调区间和极大值.
(3)证明:对任意x1,x2∈(-1,1),不等式|f(x1)-f(x2)|<4恒成立.
答案
(1)∵f(x)是R上的奇函数,
∴f(-x)=-f(x),
即-ax3-cx+d=-ax3-cx-d,
∴d=-d,即d=0 (或由f(0)=0得d=0),
∴f(x)=ax3+cx,
则f′(x)=3ax2+c,又当x=1时,f(x)取得极值-2,
f(1)=−2
f′(1)=0
,即
a+c=−2
3a+c=0
,解得
a=1
c=−3

∴f(x)=x3-3x;
(2)f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),
令f′(x)=0,得x=±1.
当-1<x<1时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减;
当x<-1或x>1时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增;
∴函数f(x)的递增区间是(-∞,-1),(1,+∞);
递减区间为(-1,1).
因此,f(x)在x=-1处取得极大值,且极大值为f(-1)=2;
(3)证明:由(2)知,函数f(x)在区间[-1,1]上单调递减,
且f(x)在区间[-1,1]上的最大值为M=f(-1)=2.最小值为m=f(1)=-2.
∴对任意x1,x2∈(-1,1),不等式|f(x1)-f(x2)|<M-m=4成立. 
即对任意x1,x2∈(-1,1),不等式|f(x1)-f(x2)|<4恒成立.
(1)由f(x)是R上的奇函数得f(-x)=-f(x),由此得到d=0,再由当x=1时,f(x)取得极值-2,得到
f(1)=−2
f′(1)=0
,解方程组求得a,c的值,则函数解析式可求;
(2)把(1)中所求解析式求导,得到导函数的零点,由导函数零点对定义域分段,根据导函数在各区间段内的符号求得原函数的单调区间,继而求得极大值;
(3)由(2)中求得的函数的单调区间可得函数f(x)在区间[-1,1]上单调递减,求出最大值为2和最小值-2,从而得到对任意x1,x2∈(-1,1),不等式|f(x1)-f(x2)|<4恒成立.

导数在最大值、最小值问题中的应用.

本题考查了利用导数研究函数的单调性,考查了利用导数求函数的极值,对于(3)的证明,体现了数学转化思想方法,是压轴题.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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