求弦长公式的推导

题目

求弦长公式的推导
求丨AB丨=[√(1+k^2)*√△]/丨a丨=√(1+1/k^2)/[(y1+y2)^2-4y1y2]的推导和如何应用,

答案

假设直线为:Y=kx+b
　　圆的方程为：(x-a)^2+(y-u)^2=r^2
　　假设相交弦为AB,点A为（x1.y1)点B为(X2.Y2)
　　则有AB=√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2
　　把y1=kx1+b.
　　y2=kx2+b分别带入,
　　则有：
　　AB=√（x1-x2)^2+(kx1-kx2)^2
　　=√(x1-x2)^2+k^2(x1-x2)^2
　　=√1+k^2*│x1-x2│
　　证明AB=│y1-y2│√[(1/k^2)+1]
　　的方法也是一样的
　　证明方法二
　　d=√(x1-x2}^2+(y1-y2)^2
　　这是两点间距离公式
　　因为直线
　　y=kx+b
　　所以y1-y2=kx1+b-(kx2+b)=k(x1-x2)
　　将其带入
　　d=√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2
　　得到
　　d=√(x1-x2)^2+[k(x1-x2)]^2
　　=√(1+k^2)(x1-x2)^2
　　=√(1+k^2)*√(x1-x2)^2
　　=√(1+k^2)*√(x1+x2)^2-4x1x2