已知实数zbcd,a+b=c+d=1,ac+bd＞1,求证abcd中至少有一个负数

题目

已知实数zbcd,a+b=c+d=1,ac+bd＞1,求证abcd中至少有一个负数

答案

假设a,b,c,d都是非负数
a+b=c+d=1
1=(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd>1+ad+bc (ac+bd>1)
a ,b,c,d 都是非负数, 则ad>=0 bc>=0
所以 1=(a+b)(c+d)>1
矛盾
所以 a , b, c,d至少有一个是负数