设a>0，函数f（x）=ax+b/x2+1，b为常数． （1）证明：函数f（x）的极大值点和极小值点各有一个； （2）若函数f（x）的极大值为1，极小值为-1，试求a的值．

题目

设a>0，函数f（x）=

ax+b

x2+1

，b为常数．
（1）证明：函数f（x）的极大值点和极小值点各有一个；
（2）若函数f（x）的极大值为1，极小值为-1，试求a的值．

答案

（1）证明f′（x）=

-ax2-2bx+a

(x2+1)2

，
令f′（x）=0，得ax²+2bx-a=0（*）
∵△=4b²+4a²>0，
∴方程（*）有两个不相等的实根，记为x₁，x₂（x₁<x₂），
则f′（x）=

-a(x-x1)(x-x2)

(x2+1)2

，
当x变化时，f′（x）与f（x）的变化情况如下表：

可见，f（x）的极大值点和极小值点各有一个．
（2） 由（1）得

f(x1)= ax1+b x12+1 =-1 f(x2)= ax2+b x22+1 =1

即

ax1+b=-x12-1 ax2+b=x22+1

两个方程左右两边相加，得a（x₁+x₂）+2b=x₂²-x₁²．
∵x₁+x₂=-

2b

a

，∴x₂²-x₁²=0，
即（x₂+x₁）（x₂-x₁）=0，
又x₁<x₂，
∴x₁+x₂=0，从而b=0，
∴a（x²-1）=0，得x₁=-1，x₂=1，代入得a=2．

（1）令f′（x）=0得到ax²+2bx-a=0根据根的判别式得到方程有两个不相等的实根设为x₁，x₂（x₁＜x₂），讨论函数的增减性得到函数的极大值和极小值各有一个；
（2）因为函数f（x）的极大值为1，极小值为-1，所以将x₁，x₂（x₁＜x₂）代入到函数关系式中得到两个式子，根据根与系数的关系化简可得a的值．

本题考点：利用导数研究函数的极值．

考点点评：考查学生利用导数研究函数极值的能力，以及灵活运用一元二次方程根的判别式和根与系数的关系解决数学问题的能力．