已知函数f(x)=log2(x),x属于〔2,8〕,函数g(x)=f(x)^2-2af(x)+3的最小值为h(a)

题目

已知函数f(x)=log2(x),x属于〔2,8〕,函数g(x)=f(x)^2-2af(x)+3的最小值为h(a)
（1）求h(a)
（2）是否存在实数m,同时满足以下条件：
1.m＞n＞3； 2.当h(a)的定义域为〔n,m〕时,值域为〔n^2,m^2〕,若存在,求出m,n的值；若不存在,请说明理由.

答案

1.f(x)值域为[1,3].设t=f(x),g(x)=g(t)=t²-2at+3.定义域[1,3].
考虑g(t)对应的抛物线,对称轴t=a.
当1≤a≤3时,最小值为h(a)=g(a)=3-a².
当a>3时,最小值为h(a)=g(3)=12-6a.
当a3时,h(a)=12-6a单调递减,若m>n>3,则必有h(n)>h(m).由值域(n²,m²)知
h(n)=m²,h(m)=n²,即12-6n=m²,12-6m=n².
即(m-n)(m+n-6)=0.m=n(与题设矛盾舍去),m+n=6(与题设矛盾舍去).
方程无解.