已知三次函数f(x)=x3+ax2-6x+b,a、b为实数,f(0)=1,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率为-6. (1)求函数f(x)的解析式; (2)若f(x)≤|2m-1|对任意
题目
已知三次函数f(x)=x3+ax2-6x+b,a、b为实数,f(0)=1,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率为-6.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若f(x)≤|2m-1|对任意的x∈(-2,2)恒成立,求实数m的取值范围.
答案
(1)f'(x)=3x
2+2ax-6 …(1分)
由导数的几何意义,f'(1)=-6
∴a=-
…(2分)
∵f(0)=1∴b=1 …(3分)
∴f(x)=x
3-
x
2-6x+1 …(4分)
(2)f'(x)=3x
2-3x-6=3(x+1)(x-2)
令f'(x)=0得x
1=-1,x
2=2 …(5分)
当x∈(-2,-1)时,f'(x)>0,f(x)递增;
当x∈(-1,2)时,f'(x)<0,f(x)递减.…(7分)
∴在区间(-2,2)内,函数f(x)的最大值为f(-1)=
…(8分)
∵f(x)≤|2m-1|对任意的x∈(-2,2)恒成立
∴|2m-1|≥
…(10分)
∴2m-1≥
2m-1≤-
∴m≥
或m≤-
…(12分)
(1)先求函数的导数,进而根据f'(1)=-6求出a的值,然后根据f(0)=1,求出b的值即可求出函数的解析式;
(2)先利用导数判断函数的单调性,进而求出函数在区间(-2,2)内的最大值,再解不等式即可.
导数的几何意义;函数解析式的求解及常用方法;函数恒成立问题.
本题的考查了导数的几何意义、导数的求法以及函数恒成立问题,对于函数恒成立问题一般转化成求函数的最值问题,属于中档题.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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