已知关于x的方程4x2-2(m+1)x+m=0的两个根恰好是一个直角三角形的两个锐角的余弦,则实数m的值等于 _ .

已知关于x的方程4x2-2(m+1)x+m=0的两个根恰好是一个直角三角形的两个锐角的余弦,则实数m的值等于 _ .

题目
已知关于x的方程4x2-2(m+1)x+m=0的两个根恰好是一个直角三角形的两个锐角的余弦,则实数m的值等于 ___ .
答案
∵4x2-2(m+1)x+m=0即(2x-1)(2x-m)=0,∴x1=
1
2
,x2=
m
2

∵方程4x2-2(m+1)x+m=0的两个根恰好是一个直角三角形的两个锐角的余弦
(
1
2
)
2
+(
m
2
)
2
=1
(m>0)
1
4
+
m2
4
=1,
∴m2=3
∴m=
3

故答案为:
3
先解出一元二次方程的两个根,再根据方程4x2-2(m+1)x+m=0的两个根恰好是一个直角三角形的两个锐角的余弦,可以得到(
1
2
)
2
+(
m
2
)
2
=1
(m>0),进而解出m的值即可得到答案.

一元二次方程的根的分布与系数的关系;同角三角函数基本关系的运用.

本题主要考查一元二次方程的解法、同角三角函数的基本关系.考查基础知识的简单应用.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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