已知函数f(x)=|x-1|+|x+1|(x∈R) (Ⅰ) 证明:函数f(x)是偶函数; (Ⅱ)利用绝对值及分段函数知识,将函数解析式写成分段函数,然后画出函数图象; (Ⅲ) 写出函数的值域和单调
题目
已知函数f(x)=|x-1|+|x+1|(x∈R)
(Ⅰ) 证明:函数f(x)是偶函数;
(Ⅱ)利用绝对值及分段函数知识,将函数解析式写成分段函数,然后画出函数图象;
(Ⅲ) 写出函数的值域和单调区间.
答案
(1)∵函数的定义域为R
∴定义域关于原点对称.
∵f(-x)=|-x-1|+|-x+1|=|x+1|+|x-1|=f(x)
∴函数f(x)是定义在R上的偶函数.
(2)当 x≤-1时,f(x)=-(x-1)-(x+1)=-2x
当-1<x<1时,f(x)=-(x-1)+(x+1)=2
当x≥1时,f(x)=(x-1)+(x+1)=2x
综上函数的解析式为f(x)=
| −2x, x≤−1 | 2, −1<x<1 | 2x, x≥1 |
| |
函数的图象为
(3)由函数f(x)的图象可知函数的值域为[2,+∞),函数的递减区间为(-∞,-1],函数的递增区间为[1,+∞).
(1)根据函数奇偶性的定义证明f(-x)=f(x),即可证明该函数为偶函数;
(2)分x≤-1,-1<x<1,x≥1三段写出函数f(x)的解析式,根据解析式作出函数图象;
(3)由图象得出函数的值域及单调区间.
函数图象的作法;函数的值域;函数的单调性及单调区间.
本题主要考查了偶函数的概念及判断、分段函数的解析式及图象、函数的值域及单调区间.培养了学生分类讨论及数形结合的思想方法及解题能力.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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