设a,b,c为互不相等的非零实数,求证:方程ax2+2bx+c=0,bx2+2cx+a=0,cx2+2ax+b=0不可能都有两个相等的实数根.

设a,b,c为互不相等的非零实数,求证:方程ax2+2bx+c=0,bx2+2cx+a=0,cx2+2ax+b=0不可能都有两个相等的实数根.

题目
设a,b,c为互不相等的非零实数,求证:方程ax2+2bx+c=0,bx2+2cx+a=0,cx2+2ax+b=0不可能都有两个相等的实数根.
答案
证明:假设题中的三个方程都有两个相等的实数根,不妨设这三个方程的根的判别式为△1,△2,△3
则有
1=4b2−4ac=0 ①
2=4c2−4ab=0 ②
3=4a2−4bc=0 ③

由①+②+③得:a2+b2+c2-ab-ac-bc=0,
有2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc=0,
即(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0,
∴a=b=c,这与已知a,b,c为互不相等的非零实数矛盾,
故题中的三个方程不可能都有两个相等的实数根.
用反证法求解;先设三个方程都有两个相等的实数根,则三个方程的△=0,经过推导得出与已知互相矛盾,从而证明原结论成立.

反证法;根的判别式.

考查根的判别式,学习反证法的应用.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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