设a∈R，函数f（x）=ax3-3x2． （Ⅰ）若x=2是函数y=f（x）的极值点，求a的值； （Ⅱ）若函数g（x）=f（x）+f′（x），x∈[0，2]，在x=0处取得最大值，求a的取值范围．

题目

设a∈R，函数f（x）=ax³-3x²．
（Ⅰ）若x=2是函数y=f（x）的极值点，求a的值；
（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）+f′（x），x∈[0，2]，在x=0处取得最大值，求a的取值范围．

答案

（Ⅰ）f'（x）=3ax2-6x=3x（ax-2）．因为x=2是函数y=f（x）的极值点，所以f'（2）=0，即6（2a-2）=0，因此a=1．经验证，当a=1时，x=2是函数y=f（x）的极值点．（Ⅱ）由题设，g（x）=ax3-3x2+3ax2-6x=ax2（x+3）-3x（...

（Ⅰ）导函数在x=2处为零求a，是必要不充分条件故要注意检验
（Ⅱ）利用最大值g（0）大于等于g（2）求出a的范围也是必要不充分条件注意检验

本题考点：函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评：极值点处的导数等于零是此点为极值点的必要不充分条件，所以解题时一定注意检验．