用斯托克斯公式求I=∮L(y^2-z^2)dx+(z^2-x^2)dy+(x^2-y^2)dz,其中L为平面x+y+z=1被三个坐标平面……

题目

用斯托克斯公式求I=∮L(y^2-z^2)dx+(z^2-x^2)dy+(x^2-y^2)dz,其中L为平面x+y+z=1被三个坐标平面……
用斯托克斯公式求I=∮L(y^2-z^2)dx+(z^2-x^2)dy+(x^2-y^2)dz,其中L为平面x+y+z=1被三个坐标平面所截三角形E的边界,若从x轴的正向看去,定向为逆时针方向

答案

设∑为平面x+y+z=1上的这个三角形区域,取上侧.∑的法向量是(1,1,1),方向余弦都是1/√3.由斯托克斯公式,I=∫∫ [(-2y-2z)/√3+(-2z-2x)/√3+(-2x-2y)/√3]dS＝∫∫ (-4x-4y-4z)/√3 dS＝∫∫ (-4)/√3 dS＝-4/√3×√...