数列|an|的前n项和Sn与an的关系有Sn=1/3an-2,且Sn=a1+a2+a3+...+an(n∈N）

题目

数列|an|的前n项和Sn与an的关系有Sn=1/3an-2,且Sn=a1+a2+a3+...+an(n∈N）
1,求数列的a1、a2、a3、a4;
2,试推导出通项公式,并用数学归纳法证明.

答案

1.s1=1/3a1-2=a1,a1=-3,
s2=1/3a2-2=-3+a2,a2=3/2,
s3=1/3a3-2=a1+a2+a3=-3/2+a3,a3=-3/4,
s4=1/3a4-2=a1+a2+a3+a4=-9/4+a4,a4=3/8.
2.an=3*(-1)^n*(1/2)^(n-1),
a1=-3,显然n=1时满足该通项公式,若n=k时满足通项公式,
则ak=3*(-1)^k*(1/2)^(k-1),ak+1=sk+1-sk=1/3（ak+1-ak）
化简得2/3ak+1=-1/3ak=(-1)^(k+1)*(1/2)^(k-1),
ak+1=3*(-1)^(k+1)*(1/2)^k,也符合通项公式,即n=k+1时也满足.
证毕.具体格式可以再修改.