,二次函数Y=-二分之一X的平方=C的图像经过点D(-根号3,二分之九),与X轴交于点AB,(对称轴为Y轴,
题目
,二次函数Y=-二分之一X的平方=C的图像经过点D(-根号3,二分之九),与X轴交于点AB,(对称轴为Y轴,
A,B分别交于X轴的正半轴和负半轴)1.求点C,2.如图1,设点C为二次函数的图像在X轴上方的一点,直线AC将四边形ABCD的面积二等分,试证明线段BD被直线AC平分,并求此时直线AC的函数解析式;3.点P,Q为该二次函数的图像在X轴上方的两个动点,试猜想:是否存在这样的点P,Q,使△AQP全等△ABP?如果存在,请举例验证你的猜想;如果不存在,请说明理由.一定要详细,
答案
分析:(1)将D点坐标代入抛物线的解析式中,即可求出待定系数c的值;
(2)若△ACD与△ABC的面积相等,则两个三角形中,AC边上的高相等,设AC、BD的交点为E,若以CE为底,AC边上的高为高,可证得△CED和△CEB的面积相等;这两个三角形中,若以DE、BE为底,则两个三角形同高,那么DE=BE,由此可证得AC平分BD;
由于E是BD的中点,根据B、D的坐标,即可求出E点的坐标,根据A、E的坐标即可用待定系数法求出直线AC的解析式;
(3)由于△ABP是直角三角形,且P点在x轴上方的抛物线上,那么P必为直角顶点,即∠APB=90°,若Rt△AQP全等于Rt△ABP,且Q点在x轴上方的抛物线上,那么∠APQ也必为直角,由此可得B、P、Q三点共线,而一条直线与抛物线的交点最多有两个,显然这种情况不成立,所以不存在符合条件的P、Q点.
(1)∵抛物线经过D(﹣ ),则有:
﹣×3+c=,解得c=6;
(2)设AC与BD的交点为E,过D作DM⊥AC于M,过B作BN⊥AC于N;
∵S△ADC=S△ACB,
∴AC•DM=AC•BN,即DM=BN;
∴CE•DM=CE•BN,
即S△CED=S△BEC(*);
设△BCD中,BD边上的高为h,由(*)得:
DE•h=BE•h,即BE=DE,故AC平分BD;
易知:A(﹣2 ,0),B(2 ,0),D(﹣ ,),
由于E是BD的中点,则E( ,);
设直线AC的解析式为y=kx+b,则有:
,
解得 ;
∴直线AC的解析式为y=x+;
(3)由于P、Q都在x轴上方的抛物线上,若△APB是直角三角形,则∠APB=90°;
若Rt△AQP全等于Rt△ABP,则AB=AQ,∠APQ=∠APB,即B、P、Q三点共线;
显然一条直线不可能与一个抛物线有3个交点,
故不存在符号条件的P、Q点.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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