函数f(x)＝1，x为有理数π，x为无理数，下列结论不正确的（　　） A.此函数为偶函数 B.此函数是周期函数 C.此函数既有最大值也有最小值 D.方程f[f（x）]=1的解为x=1

题目

函数f(x)＝

1，x为有理数 π，x为无理数

，下列结论不正确的（　　）
A. 此函数为偶函数
B. 此函数是周期函数
C. 此函数既有最大值也有最小值
D. 方程f[f（x）]=1的解为x=1

答案

A．若x为有理数，则-x也为有理数，∴f（-x）=f（x）=1，
若x为无理数，则-x也无有理数，∴f（-x）=f（x）=π，∴恒有f（-x）=f（x），∴函数f（x）为偶函数．∴A正确．
B．设T为一个正数．当T为无理数时，有f（0）=1，f（0+T）=f（T）=π，∴f（0）=f（0+T）不成立，∴T不可能是f（x）的周期；
当T为有理数时，若x为有理数，易知x+kT（k为整数）还是有理数，有f（x+T）=f（x），
若x为无理数，易知x+kT（k为整数）还是无理数，仍有f（x+T）=f（x）．综上可知，任意非0有理数都是f（x）的周期．此命题也是对的．
C．由分段 函数的表达式可知，当x为有理数时，f（x）=1，当x为无理数时，f（x）=π，
∴函数的最大值为π，最小值为1，∴C正确．
D．当x为有理数时，f（x）=1，则f[f（x）]=f（1）=1，此时方程成立．
当x为无理数时，f（x）=π，则f[f（x）]=f（π）=π，∴D错误．
故选：D．

根据分段函数的表达式，分别利用函数奇偶性，周期性和函数的单调性的性质进行判断即可．

本题考点：分段函数的应用．

考点点评：本题主要考查分段函数的应用，利用函数奇偶性和周期性，单调性的定义是解决本题的关键．