limx→+∞(π/2-arctanx)^1/x

题目

limx→+∞(π/2-arctanx)^1/x

答案

令y=(π/2-arctanx)^(1/x)
两边取对数,得
lny=ln(π/2-arctanx)/x
令t=π/2-arctanx,则x=tan(π/2-t)=cott
∴lim(x→+∞) ln(π/2-arctanx)/x
=lim(t→0) lnt/cott
=lim(t→0)(1/t)/(-csc²t).L'Hospital
=-lim(t→0) (sin²t)/t
=0
即lim(x→+∞) lny=0
故lim(x→+∞) (π/2-arctanx)^(1/x)=e^0=1