解方程:log以2的(2^x-1)的对数*log以2为底的(2^(x+1)-2)的对数=2

题目

解方程:log以2的(2^x-1)的对数*log以2为底的(2^(x+1)-2)的对数=2

答案

因为,log以2为底的(2^x-1)的对数*log以2为底的[2*(2^x-1)]的对数=2
所以,log以2为底的(2^x-1)的对数*[log以2为底的2的对数+log以2为底的(2^x-1)的对数]=2
令：log以2为底的(2^x-1)的对数=y
则,y*(1+y)=2 所以,y²+y-2=0 即：(y-1)(y+2)=0
解之,y=1,y=-2
1、 当y=1 时,log以2为底的(2^x-1)的对数=1
所以,2^x-1=2
所以,2^x=3
所以,x=log以2为底的3的对数
2、当y=-2 时,log以2为底的(2^x-1)的对数=-2
所以,2^x-1=2^(-2)=1/4
所以,2^x=5/4
所以,x=log以2为底的5/4的对数
因为由原题的x取值范围得：2^x-1>0,
所以,2^x>1
所以,x>0
因为,3>1,5/4>1
所以,x1=log以2为底的3的对数>0,
x2=log以2为底的5/4的对数>0
经检验：x1=log以2为底的3的对数；x2=log以2为底的5/4的对数均是原方程的根