已知奇函数f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），且f（x）在（0，+∞）上是增函数，f（1）=0． （1）求证：函数f（x）在（-∞，0）上是增函数； （2）解关于x的不等式f（x）＜0．

题目

已知奇函数f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），且f（x）在（0，+∞）上是增函数，f（1）=0．
（1）求证：函数f（x）在（-∞，0）上是增函数；
（2）解关于x的不等式f（x）＜0．

答案

（1）证明：设x₁，x₂∈（-∞，0），且x₁＜x₂，则有-x₁＞-x₂＞0，
∵f（x）是[0，+∞）上的增函数∴f（-x₁）＞f（-x₂）
又∵f（x）为R上的奇函数，∴-f（x₁）＞-f（x₂），即f（x₁）＜f（x₂）．
故f（x）是（-∞，0）上的单调增函数；
（2）x＞0时，f（x）＜f（1），∴x＜1，∴0＜x＜1；
x＜0时，f（x）＜f（-1），∴x＜-1，∴x＜-1，
∴不等式f（x）＜0的解集为{x|0＜x＜1或x＜-1}．