已知椭圆C的中心在原点,焦点在X轴上,点F1,F2分别是椭圆的左右焦点,

题目

已知椭圆C的中心在原点,焦点在X轴上,点F1,F2分别是椭圆的左右焦点,
在椭圆C的右准线上的点P(2,根号3),满足线段PF1的中垂线过点F2,直线L:y=kx+m为动直线,且与椭圆C交于不同的两点A,B
求椭圆C的方程
若在椭圆C上存在点Q,满足向量OA+向量OB=x向量OQ（O为原点坐标）,求实数X的取值范围

答案

由题意得：右准线a^2/c=2 (a>0,c>0)
线段PF1中点坐标为((2-c)/2,3^0.5/2),设为点Q
由PF1·QF2=0得,3c^2+4c-7=0
∴c=1,a=2^0.5,b=1
椭圆方程为x^2/2+y^2=1
(2)设Q点(xq,yq)
x^2/2+y^2=1
y=kx+m
联立得(2k^2+1)x^2+4kmx+2m^2-2=0
△>0
向量OA+向量OB=(xa+xb,ya+yb)
(xa+xb,ya+yb)=(-4km/(2k^2+1),2m/(2k^2+1))
要使得向量OA+向量OB=x向量OQ
则(-4km/(2k^2+1),2m/(2k^2+1))=X(xq,yq)
∵Q点在椭圆上
∴点(-4km/(2k^2+1)X,2m/(2k^2+1)X)也在椭圆上,代入椭圆方程得
X^2=4m^2/(2k^2+1)
又∵△>0
∴2k^2+1>m^2
代入X^2,解得X∈(-2,2)