椭圆切线方程推导过程

题目

椭圆切线方程推导过程
不用导数怎么求椭圆方程,用Δ＝0求出关于k的方程后就解不出来了.
(a^2-xo^2)k^2+2kx0y0-y0^2+b^2=0 应该是这个方程,但就是求不出来k=-b^2X/(a^2Y)

答案

设切点坐标为（x0,y0）
切线方程为y-y0=k(x-x0)(1)
注意到切点是椭圆上的点有b^2x0^2+a^2y0^2=a^2b^2(2)
同时则将(1)(2)代入椭圆方程
得到(b^2+a^2k^2)x^2-2a^2(k^2x0+ky0)x+a^2k^2x0^2-b^2x0^2-2a^2kxoyo=0
由Δ＝0【正误需要验证 如果你这个方程整理错了 以下都是徒劳的】
有
（ka^2y0+b^2x0）^2=0【请你仔细算 仔细观察 仔细仔细再仔细 别忘了这个式子能配方】
结论k=-b^2X0/(a^2Y0)得证