已知抛物线y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B,则|AB|等于(  ) A.3 B.4 C.32 D.42

已知抛物线y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B,则|AB|等于(  ) A.3 B.4 C.32 D.42

题目
已知抛物线y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B,则|AB|等于(  )
A. 3
B. 4
C. 3
2

D. 4
2
答案
设直线AB的方程为y=x+b,由
y=−x2+3
y=x+b
⇒x2+x+b-3=0⇒x1+x2=-1,
进而可求出AB的中点M(−
1
2
,−
1
2
+b)

又∵M(−
1
2
,−
1
2
+b)
在直线x+y=0上,
代入可得,b=1,
∴x2+x-2=0,
由弦长公式可求出|AB|=
1+12
12−4×(−2)
=3
2

故选:C.
先设出直线AB的方程,与抛物线方程联立消去y,根据韦达定理求得x1+x2的值,进而可求AB中M的坐标,代入直线x+y=0中求得b,进而由弦长公式求得|AB|.

直线与圆锥曲线的综合问题.

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