定义域为R的偶函数f（x）满足对任意x∈R，有f（x+2）=f（x）-f（1），且当x∈[2，3]时，f（x）=-2x2+12x-18，若函数y=f（x）-loga（x+1）在（0，+∞）上至少有三个

题目

定义域为R的偶函数f（x）满足对任意x∈R，有f（x+2）=f（x）-f（1），且当x∈[2，3]时，f（x）=-2x²+12x-18，若函数y=f（x）-log_a（x+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围是（　　）
A. （0，

3

3

）
B. （0，

2

2

）
C. （0，

5

5

）
D. （0，

6

6

）

答案

∵f（x+2）=f（x）-f（1），令x=-1，则f（1）=f（-1）-f（1），∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（1）=0．∴f（x）=f（x+2），则函数f（x）是定义在R上的，周期为2的偶函数，又∵当x∈[2，3]时，f（x）=-2x2+12x-18...

由题意可判断函数f（x）是定义在R上的，周期为2的偶函数，令g（x）=log_a（x+1），画出f（x）与g（x）在[0，+∞）的部分图象如下图，将y=f（x）-log_a（x+1）在（0，+∞）上至少有三个零点可化为f（x）与g（x）的图象在（0，+∞）上至少有三个交点，从而解出a的取值范围．

本题考点：根的存在性及根的个数判断．

考点点评：本题考查了数形结合的思想，同时考查了学生的作图能力与转化能力，属于基础题．