数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1=1，an+1=n+2/nSn（n=1，2，3，…）．证明： （Ⅰ）数列{Snn}是等比数列； （Ⅱ）Sn+1=4an．

题目

数列{a_n}的前n项和记为S_n，已知a₁=1，a_n+1=

n+2

n

答案

（I）证：由a₁=1，a_n+1=

n+2

n

S_n（n=1，2，3，），
知a₂=

2+1

1

S₁=3a₁，

S2

2

＝

4a1

2

＝2，

S1

1

＝1，∴

S2 2

S1 1

＝2
又a_n+1=S_n+1-S_n（n=1，2，3，…），则S_n+1-S_n=

n+2

n

S_n（n=1，2，3，），
∴nS_n+1=2（n+1）S_n，

Sn+1 n+1

Sn n

＝2（n=1，2，3，…），
故数列{

Sn

n

}是首项为1，公比为2的等比数列．
（II）证明：S_n+1=4a_n．当n=1时，S₂=a₁+a₂=4a₁，等式成立．
由（1）知：

Sn

n

＝1×2n−1，∴S_n=n2^n-1
当n≥2时，4a_n=4（S_n-S_n-1）=2ⁿ（2n-n+1）=（n+1）2ⁿ=S_n+1，等式成立．
因此对于任意正整数n≥1都有S_n+1=4a_n．