求方程组x+y＝2xy−z2＝1的实数解．

题目

求方程组

x+y＝2 xy−z2＝1

的实数解．

答案

将x+y=2两边分别平方，得x²+2xy+y²=4（1）
把方程xy-z²=1两边都乘以2得2xy-2z²=2（2）
（1）-（2）得：x²+y²+2z²=2（3）
由x+y=2得2x+2y=4（4）
（3）-（4）得：x²+y²+2z²-2x-2y+2=0，
配方，得：（x-1）²+（y-1）²+2z²=0，
∵x，y，z均为实数，
∴只能是（x-1）²=0，（y-1）²=0，z²=0，
∴x=1，y=1，z=0，
显然x=1，y=1，z=0满足原方程组．
∴原方程组的实数解为：x=1，y=1，z=0．

首先把x+y=2两边分别平方，得x²+2xy+y²=4，一步步化简可以得到：（x-1）²+（y-1）²+2z²=0，根据非负数的性质，可以解得x、y、z的值．

本题考点：高次方程．

考点点评：本题主要考查高次方程求解的问题，解决此类问题的关键是把方程转化成几个非负数之和的形式，再进行求解，此类题具有一定的难度，同学们解决时需要细心．