求极限：lim（1/x2-cot2x)x→0

题目

求极限：lim（1/x2-cot2x)x→0
这么做错在哪：lim(sin2x-x2cos2x)/x2sin2x=lim(x2-x2(1-sin2x))/x4=lim(x2-x2+x4)/x4=1
为什么不能这么求?

答案

从您的解题过程猜测原题可能是 x->0, lim[ 1/x^2 - (cotx)^2]
错误的原因是等价无穷小只能替换因式,你上面的替换分子就有问题了,分母的替换是正确的.
lim[ 1/x^2 - (cotx)^2]
=lim[ 1/x^2 - (cscx)^2] +1 (利用(cscx)^2 =(cotx)^2+1)
=lim[ (sinx)^2 - x^2] / [x^2* (sinx)^2] + 1 (通分)
=lim[ (sinx)^2 - x^2] / (x^4) + 1 （分母等价无穷小替换）
=lim[ 2sinxcosx - 2x] /(4x^3) + 1（洛必达法则）
=lim[ sin2x -2x] / (4x^3) + 1 （三角公式sin2x=2sinxcosx)
=lim[2cos2x - 2] /(12x^2) + 1（洛必达法则）
= lim(cos2x-1)/ (6x^2) +1
=lim(-2sin2x)/(12x) +1(洛必达法则,也可用等价无穷小）
=lim(-4x)/(12x) +1
=2/3