定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数，若f（x）的最小正周期是π，且当x∈[0，π2]时，f（x）=sinx （1）求当x∈[-π，0]时f（x）的解析式 （2）画出函数f（x）在[-π，π

题目

定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数，若f（x）的最小正周期是π，且当x∈[0，

π

2

]

答案

（1）因为f（x）是偶函数，所以f（-x）=f（x）
而当x∈[0，

π

2

]时，f（x）=sinx，所以x∈[−

π

2

，0]时，−x∈[0，

π

2

]，
f（x）=f（-x）=sin（-x）=-sinx．
又当x∈[−π，−

π

2

]时，x+π∈[0，

π

2

]，
因为f（x）的周期为π，所以f（x）=f（π+x）=sin（π+x）=-sinx．
所以当x∈[-π，0]时f（x）=-sinx．
（2）函数图象如图，

（3）由于f（x）的最小正周期为π，
因此先在[-π，0]上来研究f(x)≥

1

2

，即−sinx≥

1

2

．
所以sinx≤−

1

2

．所以，−

5π

6

≤x≤−

π

6

．
由周期性知，当f(x)≥

1

2

时，x∈[kπ−

5π

6

，kπ−

π

6

]（k∈Z）．
所以，当f(x)≥

1

2

时，x的取值范围是[kπ−

5π

6

，kπ−

π

6

]（k∈Z）．