1/2,1/3,1/4,……,1/90,1/91,从中挑出10个加上正负号得-1

题目

1/2,1/3,1/4,……,1/90,1/91,从中挑出10个加上正负号得-1
埃及同中国一样,有是世界上著名的文明古国,古埃及人处理分数与众不同,他们一般只使用单位分数（如1/2,1/3,1/5）例如,用1/3+1/5表示2/5,用1/4+1/7+1/28表示3/7等等,现在有90个埃及分数,1/2,1/3,1/4,……,1/90,1/91,你能从中挑出10个加上正负号,使它们的和为-1吗?同志们快点闹.

答案

解答: 这是一道比较费脑筋的题目.花了我半个小时才理出了个头绪. 要利用90个埃及分数：1／2,1／3,1／4,…,1／90,1／91,从中挑出10个,加上正负号,使他们的和等于－1.(即每个分数的分子都是1, 而每个分数的分母都不同.) 所以我猜想如果可以找一个数字,让它做分母,同时把这个数字可以用它的不同因数(最少10个)拆开, 且不同因数的和正好等于这个分母的相反数,问题就解决了. 所以我想构造一个2,3,4,5,6,7,8,9的最的公倍数是 (2^3)*(3^2)*5*7=8*9*5*7 这个数字太大,不可能用它来做分母. 经过观察得到(2^3)*(3^2)=8*9=72,它可以作为未来十个分数的公分母. 再仔细观察(2^3)*(3^2)的因数有3+2+3*2+1=12, 即: (2,4,8) (3, 9) (6,18,12,36,24,36,72)(1). (考虑到未来 注释: [第一个括号内的72的因数由单一因数2形成,分别是2^1,2^2和2^3 [第二个括号内的72的因数由单一因数3形成,分别是3^1 和3^2 [第三个括号内的72的因数由因数2和3形成,分别是2,4,8与3,9的两两成积. [第四个括号内是任何数的因数=1 将上述的因数按由小到大排列即: 1,2,3,4,6,8,9,12,18.24,36,72.因为72/72=1,实际上已经不是分数,所以拿掉这个因数,剩11个因数. 剩下的问题就是如何在1,2,3,4,6,8,9,12,18.24,36共11个数字中,选择10个通过添加正负号使得它的结果等于72了. (因为加和的结果是不是-72,所以奇因数应该成对出现) 在EXCEL中将上述的因数选择10个一一键入,排成一列,求和.然后通过”只调整正负号”,使得结果等于72就成了.我至少得到以下三组结果. A: (-2,3,4,-6,-8,-9,-12,18,-24,-36) B: (2, 3,-4,-6,8,-9,12,-18,-24,-36) C: (-1, -2, 3, -4, -6, -8, -12, 18, -24, -36) 所以我们可以分别得到 A: (-2 + 3 + 4 – 6 – 8 – 9 –12 + 18 – 24 - 36)/72= -72/72= -1 B: (2 + 3 – 4 –6 + 8 – 9 +12 –18 – 24 -36)/72= -72/72 = -1 C: (-1, -2, 3, -4, -6, -8, -12, 18, -24, -36)/72= -72/72 = -1 左边化简得到: A: (-2 + 3 + 4 – 6 – 8 – 9 –12 + 18 – 24 - 36)/72 = -2/72 + 3/72 + 4/72 – 6/72 – 8/72 – 9/72 –12/72 + 18/72 – 24/72 – 36/72 = -1/36 + 1/24 + 1/18 – 1/12 – 1/9 – 1/8 –1/6 + 1/4 – 1/3 – 1/2 B: (2 + 3 – 4 –6 + 8 – 9 +12 –18 – 24 -36)/72 =2/72 + 3/72 – 4/72 –6/72 + 8/72 – 9/72 +12/72 –18/72 – 24/72 –36/72 =1/36 + 1/24 – 1/18 –1/12 + 1/9 – 1/8 +1/6 –1/4 – 1/3 –1/2 C: (-1 – 2 + 3 - 4 - 6 - 8 –12 + 18 - 24 -36)/72 = -1/72 – 2/72 + 3/72 – 4/72 – 6/72 – 8/72 –12/72 + 18/72 – 24/72 –36/72 = -1/72 – 1/36 + 1/24 – 1/18 – 1/12 – 1/9 –1/6 + 1/4 – 1/3 –1/2 题外话: 我后边又再想了,我找到的几个数字都是以72为公分母,有没有其他的合乎条件的不是72的数字呢? 经过我的证明和列举,说明再没有合乎条件的公分母了.下面给出我的过程,希望指正. 假定我们采用的每一个因数都不浪费,(这要求不同因数之间互质,即两两没有公约数,1除外). 取出的n个数字每一个都不同,而且假定n个数字的任意两个,三个,知道n个的乘积都不大于91, 那么所有因数的个数是1+n+combin(n,2)+combin(n,3)+…+combin(n,n-1)= combin(n,0)+ combin(n,1)+combin(n,2)+combin(n,3)+…+combin(n,n-1)=2^n-combin(n,n)=2^n-1 [其中combin(n,m)是组合的表达式(0=4, 而实际上取出的n个数字中并不是每一个都不同(在例子中2被取了三次,实际上只能计做1个因数,而不是3个因数),而且假定n个数字的任意两个,三个,知道n个的乘积并不是总都不大于91,所以实际的因数数量会比2^n-1要少.n的最小值是4,即最少要选择4个数,否则不会有10个不同的(不含1和最大)的因数. 下面列表给出了所有可以分解成4个或者4个以上因数乘积((即n>=4)的, 小于等于91的, 可能作为最终公分母的数字,的因数表和因数个数表. 从中可以看出,只有公分母72符合条件.有至少10个不同因数.(不含本身). [分母][因数积][因数][合条件个数] [64] [2*2*2*2*2*2] [1,2,4,8,16,32,64] [6] [32] [2*2*2*2*2] [1,2,4,8,16,32] [5] [16] [2*2*2*2] [1,2,4,8,16] [4] [48] [2*2*2*2*3] [1,2,4,8,16,3,6,12,24] [9] [80] [2*2*2*2*5] [ 1,2,4,8,16,5,10,20,40] [9] [24] [2*2*2*3] [1,2,4,8,3,6,12] [7] [72] [2*2*2*3*3] [1,2,4,8,3,9,6,18,12,36,24] [11] [40] [2*2*2*5] [1,2,4,8,5,10,20] [7] [56] [2*2*2*7] [1,2,4,8,7,14,28] [7] [88] [2*2*2*11] [1,2,4,8,11,22,44] [7] [81] [3*3*3*3] [1,3,9,27] [4] [54] [3*3*3*2] [1,3,9,27,2,6,18] [7]