已知实数a>0,函数f(x)=ax(x-2)2(x∈R)有极大值32. (1)求实数a的值; (2)求函数f(x)的单调区间.
题目
已知实数a>0,函数f(x)=ax(x-2)2(x∈R)有极大值32.
(1)求实数a的值;
(2)求函数f(x)的单调区间.
答案
(1)∵f(x)=ax(x-2)
2=ax
3-4ax
2+4ax,
∴f′(x)=3ax
2-8ax+4a.
由f′(x)=0,得3ax
2-8ax+4a=0.
∵a≠0,∴3x
2-8x+4=0.
解得x=2或x=
.
∵a>0,∴x<
或x>2时,f′(x)>0;
<x<2时,f′(x)<0.
∴当x=
时,f(x)有极大值32,即
a-
a+a=32,∴a=27.
(2)∵x<
或x>2时,f′(x)>0,∴函数f(x)单调递增
当
<x<2时,f′(x)<0,∴函数f(x)单调递减
f(x)在(-∞,
)和(2,+∞)上是增函数,在(
,2)上是减函数.
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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