已知函数f（x）=x2+ax+b （1）若对任意的实数x都有f（1+x）=f（1-x）成立，求实数a的值； （2）若f（x）为偶函数，求实数a的值； （3）若f（x）在[1，+∞）内递增，求实数a的范

题目

已知函数f（x）=x²+ax+b
（1）若对任意的实数x都有f（1+x）=f（1-x）成立，求实数a的值；
（2）若f（x）为偶函数，求实数a的值；
（3）若f（x）在[1，+∞）内递增，求实数a的范围．

答案

（1）∵f（1+x）=f（1-x）
∴y=f（x）的图象关于直线x=1对称
∴−

a

2

＝1即a=-2
（2）∵f（x）为偶函数，
∴f（-x）=f（x）对于一切实数x恒成立
即（-x）²+a（-x）+b=x²+ax+b
∴2ax=0
∴a=0
（3）∵f（x）在[1，+∞）内递增
∴−

a

2

≤1
∴a≥-2
即实数a的范围为[-2，+∞）