设O是三角形ABC内一点,且满足向量OA+2向量OB+3向量OC=0,求三角形ABC与三角形AOC的面积之比?

题目

设O是三角形ABC内一点,且满足向量OA+2向量OB+3向量OC=0,求三角形ABC与三角形AOC的面积之比?
给出的向量条件应如何转化运用?

答案

过A点作OB的平行线,在平行线上取线段AD,使得AD=2OB,延长OB至E使得BE=OB,因为AD平行且等于OE,四边形ADEO为平行四边形,对角线OD=OA+AD=OA+OE=OA+2OB=-3OC,所以三角形AOD的面积是三角形AOC面积的三倍,设三角形AOC面积为X,则三角形AOD的面积为3X,因为AD平行于OB,且AD=2OB,设CD与AB相交于F点,则有AF：FB=DF：FO=AD：OB=2：1,所以三角形AOF的面积为X,三角形ACF的面积为2X,因为AF：FB=2：1,所以三角形CFB面积为X,故三角形ABC总面积为3X,故两三角形面积之比为3：1