不等式ax2+4x+a＞1-2x2对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是（　　） A.（-∞，2） B.（-∞，2）∪（2，+∞） C.（2，+∞） D.（0，2）

题目

不等式ax²+4x+a＞1-2x²对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是（　　）
A. （-∞，2）
B. （-∞，2）∪（2，+∞）
C. （2，+∞）
D. （0，2）

答案

由ax²+4x+a＞1-2x²，得（a+2）x²+4x+a-1＞0，
ax²+4x+a＞1-2x²对一切x∈R恒成立，即（a+2）x²+4x+a-1＞0，对一切实数恒成立，
当a=-2时不合题意，所以a≠-2，
则

a+2＞0 42−4(a+2)(a−1)＜0

，解得：a＞2．
所以实数a的取值范围是（2，+∞）．
故选C．

把已知的不等式变形为二次不等式的一般形式，然后讨论二次项系数，当二次项系数不等于0时，需开口向上且判别式小于0．

本题考点：一元二次不等式的解法．

考点点评：本题考查了一元二次不等式的解法，考查了分类讨论思想和数形结合思想，解答此题的关键是三个二次的结合，是常考题型．