在△ABC中，AB=AC=2，BC=5-1，∠A=36°，BD平分∠ABC，交于AC于D．试说明点D是线段AC的黄金分割点．

题目

在△ABC中，AB=AC=2，BC=

5

-1，∠A=36°，BD平分∠ABC，交于AC于D．试说明点D是线段AC的黄金分割点．

答案

证明：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=

1

2

（180°-36°）=72°，
∵BD平分∠ABC，交于AC于D，
∴∠DBC=

1

2

×∠ABC=

1

2

×72°=36°，
∴∠A=∠DBC，
又∵∠C=∠C，
∴△BCD∽△ABC，
∴

BC

AB

＝

CD

BC

∵AB=AC，
∴

BC

AC

=

CD

BC

，
∵AB=AC=2，BC=

5

-1，
∴（

5

-1）²=2×（2-AD），
解得AD=

5

−1，
AD：AC=（

5

−1）：2．
∴点D是线段AC的黄金分割点．

根据等腰三角形的两底角相等以及角平分线的定义求出∠DBC=36°，从而证明△BDC与△ABC相似，根据相似三角形对应边成比例列出比例式，代入数据计算出AD的值，根据数据即可判定点D是线段AC的黄金分割点．

本题考点：黄金分割．

考点点评：本题考查了学生黄金分割点的证明，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值（ 5−12）叫做黄金比．