椭圆中焦点三角形面积最大时, 两条焦点弦位置?

题目

椭圆中焦点三角形面积最大时, 两条焦点弦位置?

答案

设P是椭圆上一点 ,角F1PF2=θ,焦点三角形F1PF2的面积=b² tan(θ/2)
它可由三个式子推出:
1,∣ PF1∣ + ∣PF2∣ =2a
2,余弦定理:∣PF1∣² + ∣PF2∣² -2∣PF1∣∣PF2 ∣COSθ=∣F1F2∣²
3,三角形面积公式:S=(1/2)∣PF1∣∣PF2∣Sinθ
所以 θ 越大焦点三角形面积越大,由余弦定理可证明,当 P 在短轴的顶点时 θ 最大.
此时 ∣PF1∣=∣PF2∣.