球的表面积公式S=4πr²的推导过程,看看我哪里错了,

题目

球的表面积公式S=4πr²的推导过程,看看我哪里错了,
我想球的表面积可以用切片法,切一个半球,然后对周长积分
S=2π∫（0到R）xdy
x²+y²=R²,设x=Rcosθ,y=Rsinθ,（0≤θ≤π/2）
∴S=2π∫（0到π/2）Rcosθd（Rsinθ）=2πR²∫（0到π/2）cos²θdθ（然后化为2倍角求积分）
但是最后算出S不等于2πR²,请问我哪里出错了,方法不对吗?说说哪里错了?

答案

如图所示,你要积分的圆环宽度应当是斜边长度 dy/cosθ ,而不是 dy.

代入,得 S=2π∫（0到π/2）R d(Rsinθ)
相信剩下的你能自己搞定.