已知函数f(x)=2cosx平方+2根号3sinxcosx+1.

题目

已知函数f(x)=2cosx平方+2根号3sinxcosx+1.
(1)若x属于[o,π]时,f(x)=a有两异根,求a的取值范围及两根之和.
(2)函数y=f(x),x属于[π/6,7π/6]的图像与直线y=4围成图形的面积是多少?

答案

f(x)=2cos²x+2√3•sinxcosx+1=1+cos2x+√3•sin2x+1=2sin(2x+π/6)+2.
(1)若x∈[0,π],则(2x+π/6)∈[π/6,2π+π/6],从而f(x)的值域为[0,4],
由图可知,当且仅当a∈(0,3)∪(3,4)时,f(x)=a恰有两相异实根,(当a=3时有三个相异实根)
故所求a的取值范围是(0,3)∪(3,4).
当a∈(0,3)时两根之和为4π/3；a∈(3,4)时两根之和为π/3.
(2)由图可知,函数y=f(x),x∈[π/6,7π/6]的图像与直线y=4围成图形的面积是2π.
提示：可用积分求；也可通过补形求——将直线y=2下方的图形沿对称轴x=2π/3分开,分别补到直线y=2的上方、y=f(x),x∈[π/6,7π/6]的图像下方,可将原图补成长为π,宽为2的矩形.