已知整数a,b满足:a-b是素数,且ab是完全平方数.当a≥2012时,求a的最小值.
题目
已知整数a,b满足:a-b是素数,且ab是完全平方数.当a≥2012时,求a的最小值.
答案
设a-b=m(m是素数),ab=n
2(n是正整数).
∵(a+b)
2-4ab=(a-b)
2,
∴(2a-m)
2-4n
2=m
2,
即:(2a-m+2n)(2a-m-2n)=m
2.
∵2a-m+2n与2a-m-2n都是正整数,且2a-m+2n>2a-m-2n (m为素数),
∴2a-m+2n=m
2,2a-m-2n=1,
解得:a=
,n=
,
∴b=a-m=
,
∵a≥2012,
∴
≥2012,
∵m是素数,
解得:m≥89,
此时,a≥
=2025,
当a=2025时,m=89,b=1936,n=1980.
∴a的最小值为2025.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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