设函数f(x)=-1/3x3+x2+(m2-1)x(x∈R),其中m>0. (1)当m=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率; (2)求函数f(x)的单调区间.
题目
答案
(1)当m=1时,f(x)=-
x
3+x
2,f′(x)=-x
2+2x,故f′(1)=1.
所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为1.
(2)f′(x)=-x
2+2x+m
2-1.
令f′(x)=0,解得x=1-m,或x=1+m.
因为m>0,所以1+m>1-m.
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x | (-∞,1-m) | 1-m | (1-m,1+m) | 1+m | (1+m,+∞) |
f′(x) | - | 0 | + | 0 | - |
f(x) | 递减 | 极小值 | 递增 | 极大值 | 递减 |
所以f(x)在(-∞,1-m),(1+m,+∞)内是减函数,在(1-m,1+m)内是增函数.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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