双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1上任一点到两渐近线的距离的乘积为

题目

双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1上任一点到两渐近线的距离的乘积为

答案

渐近线y=±b/a x
即bx+ay=0,bx-ay=0
假设点是(p,q)
则距离的乘积为|bp+aq|/√(b²+a²)*|bp-aq|/√(b²+a²)
=|b²p²-a²q²|/(a²+b²)
因为p²/a²-q²/b²=1
所以b²p²-a²q²=a²b²
所以距离的乘积=|a²b²|/(a²+b²)
=a²b²/c²