已知cosx=cosαcosβ,求证,tan（x+a）/2tan（x-a/）2=tan^2（β/2）

题目

已知cosx=cosαcosβ,求证,tan（x+a）/2tan（x-a/）2=tan^2（β/2）

答案

已知cosx=cosαcosβ,求证tan[(x+α)/2]tan[(x-α)/2]=tan²(β/2)
证明：左边={sin[(x+α)/2]sin[(x-α)/2]}/{cos[(x+α)/2]cos[(x-α)/2]}【用积化和差公式】
={cos[(x+α)/2-(x-α)/2]-cos[(x+α)/2+(x-α)/2]}/{cos[(x+α)/2-(x-α)/2]+cos[(x+α)/2+(x-α)/2]}【化简】
=(cosα-cosx)/(cosα+cosx)【将已知条件cosx=cosαcosβ代入】
=(cosα-cosαcosβ)/(cosα+cosαcosβ)【约分】
=(1-cosβ)/(1+cosβ)【用倍角公式】
=[2sin²(β/2)]/[2cos²(β/2)]
=tan²(β/2)=右边.故证.