P是椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b)除去左右顶点的一点F1F2为左右焦点若∠PF1F2= α∠PF2F1=β求离心率eF1PF2的面

题目

P是椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b)除去左右顶点的一点F1F2为左右焦点若∠PF1F2= α∠PF2F1=β求离心率eF1PF2的面
P是椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b)除去左右顶点的一点F1F2为左右焦点若∠PF1F2= α∠PF2F1=β求离心率e,若∠F1PF2=θ求三角形F1PF2的面积

答案

（1）∠F1PF2=π-α-β
在△PF1F2中,由正弦定理
|PF1|/sinβ=|PF2|/sinα=|F1F2|/|sin(π-α-β)
2a=|PF1|+|PF2|==2c(sinα+sinβ)/sin(α+β)
e=c/a=sin(α+β)/(sinα+sinβ)
（2）根据椭圆定义
(2a)²=(|PF1|+|PF2|)²=|PF1|²+|PF2|²+2|PF1|·|PF2|——①
由余弦定理：
(2c)²=|PF1|²+|PF2||²-2|PF1|·|PF2|cosθ ——②
①-②,得
|PF1|·|PF2|=2(a²-c²)/(1+cosθ)=2b²/(1+cosθ)
△PF1F2的面积S=|PF1|·|PF2|sinθ /2=b²sinθ/(1+cosθ)=b²tan(θ/2)