定义域为R的偶函数f(x),当x>0时,f(x)=lnx-ax(a∈R),方程f(x)=0在R上恰有5个不同的实数解. (1)求x<0时,函数f(x)的解析式; (2)求实数a的取值范围.

定义域为R的偶函数f(x),当x>0时,f(x)=lnx-ax(a∈R),方程f(x)=0在R上恰有5个不同的实数解. (1)求x<0时,函数f(x)的解析式; (2)求实数a的取值范围.

题目
定义域为R的偶函数f(x),当x>0时,f(x)=lnx-ax(a∈R),方程f(x)=0在R上恰有5个不同的实数解.
(1)求x<0时,函数f(x)的解析式;
(2)求实数a的取值范围.
答案
(1)设x<0,则-x>0.
∵f(x)为偶函数,∴f(x)=f(-x)=ln(-x)+ax.
(2)∵f(x)为偶函数,∴f(x)=0的根关于原点对称.
由f(x)=0恰有5个不同的实数解知5个实根中有两个正根,二个负根,一个零根.
且两个正根和二个负根互为相反数.∴原命题⇔当x>0时f(x)图象与x轴恰有两个不同的交点.
下面研究x>0时的情况:f(x)=0的零点个数⇔y=lnx与直线y=ax交点的个数.
∴当a≤0时,y=lnx递增与直线y=ax下降或与x轴重合,
故交点的个数为1,不合题意,∴a>0.
由几何意义知y=lnx与直线y=ax交点的个数为2时,直线y=ax的变化应是从x轴到与y=lnx相切之间的情形. 
设切点(t,lnt)⇒k=(lnx)′|x=t
1
t

∴切线方程为:y−lnt=
1
t
(x−t)

由切线与y=ax重合知a=
1
t
,lnt=1⇒t=e,a=
1
e

故实数a的取值范围为(0,
1
e
)
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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