若对于任意非零实数m，不等式|2m-1|+|1-m|＞|m|（|x-1|-|2x+3|）恒成立，则实数x的取值范围_．

题目

若对于任意非零实数m，不等式|2m-1|+|1-m|＞|m|（|x-1|-|2x+3|）恒成立，则实数x的取值范围______．

答案

已知对于任意非零实数m，不等式|2m-1|+|1-m|≥|m|（|x-1|-|2x+3|）恒成立，
即|x-1|-|2x+3|≤

|2m−1|+|1−m|

|m|

 恒成立．
∵

|2m−1|+|1−m|

|m|

≥

|2m−1+1−m|

|m|

=1，所以只需|x-1|-|2x+3|≤1．
①当x≤-

3

2

时，原式1-x+2x+3≤1，即x≤-3，所以x≤-3
②当-

3

2

＜x＜1时，原式1-x-2x-3≤1，即x≥-1，所以-1≤x＜1
③当x≥1时，原式x-1-2x-3≤1，即x≥-5，所以x≥1．
综上，x的取值范围为（-∞，-3]∪[-1，+∞）．
故答案为（-∞，-3]∪[-1，+∞）．