设F1,F2是双曲线(X-y)(x+y)=4两个焦点,Q是双曲线任意一点,从F1引角F1QF2的角平分线的垂线,

题目

设F1,F2是双曲线(X-y)(x+y)=4两个焦点,Q是双曲线任意一点,从F1引角F1QF2的角平分线的垂线,
设F1,F2是双曲线(X-y)(x+y)=4的两个焦点,Q是双曲线上任意一点,从F1引角F1QF2的角平分线的垂线,垂足为P,则P的轨迹方程是

答案

(X-y)(x+y)=4
x^2-y^2=4
a=1
这道题用几何方法比较简单
首先画出图后,连结OP
根据双曲线的定义,Q点到F1,F2距离之差的绝对值是定值,为2a=2
设是F1P垂直于QP,那么延长F1P交F2Q于A后
因为QP是角平分线,F1P垂直于QP,所以三角形QAF1是等腰三角形
那么QA=QF1,F2A就是2a=2；另外根据这个等腰三角形,可以得到PA=PF1
所以在三角形AF1F2中,OP是中位线,长为a
也就是说P点到原点的距离恒为a=1
所以P点的轨迹方程是x^2+y^2=a^2=1,是个圆