已知函数f(x)=lnx-ax(a∈R)(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)≤1恒成立,求实数a的取值范围.
题目
已知函数f(x)=lnx-ax(a∈R)
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)≤1恒成立,求实数a的取值范围.
答案
(1)∵f(x)=lnx-ax(x>0),
∴
f′(x)=-a(x>0),
当a≤0时,f′(x)>0(2分),
当a>0时,由f′(x)=0得x=>0当x变化时,f'(x),f(x)随x变化情况如下表:
综上可知:当a≤0时,f(x)的递增区间为(0,+∞),
当a>0时,f(x)的增区间为
(0,),减区间为
(,+∞),
(2)若函数f(x)≤1恒成立,只需f(x)
max≤1,
当a≤0时,f(x)的值趋向于无穷大,不成立,
当a>0时,由(1)知,f(x)有唯一的极大值且为最大值,
∴f(
)=ln
-a
=-lna-1≤1,
∴lna≥-2,
∴a≥e
-2,
即函数f(x)≤1恒成立时,a的取值范围为[e
-2,+∞).
(1)首先求出函数的导数,然后根据导数与单调区间的关系确定函数的单调区间,
(2)根据函数的导数与最值的关系确定实数a的取值范围.
A:利用导数研究函数的单调性 B:利用导数求闭区间上函数的最值
掌握导数与函数单调性的关系,会熟练运用导数解决函数的极值与最值问题.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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