空间向量点到平面距离的公式是什么?怎么证明得到这个公式?

题目

空间向量点到平面距离的公式是什么?怎么证明得到这个公式?

答案

d=|AX+BY+CZ+D|/根号(A^2+B^2+C^2) 证明：在平面上任取一点P(X0,Y0,Z0) 并作一法线向量N,则D=|PRJNP1P0|设EN为与向量N方向一致的单位向量,那么有PRJNP1P0=P1P0*EN 而EN=1-/[A^2+B^2+C^2)(A,B,C) P1P0=(X0-X1,Y0-Y1,Z0-Z1)得PRJNP1P0=A(X0-X1)+B(Y0-Y1)+C(Z0-Z1)/(根号A^2+B^2+C^2)由于AX1+BY1+CZ1+D=0于是得上式