已知两向量a和b,求证|a+b|=|a-b|的充要条件是a的方向与b的方向垂直

题目

已知两向量a和b,求证|a+b|=|a-b|的充要条件是a的方向与b的方向垂直

答案

要证|a+b|=|a-b|
则只需证|a+b|二次方=|a-b|二次方
则只需证a向量二次方+b向量二次方+2ab向量数量积*cosX=a向量二次方+b向量二次方-2ab向量数量积*cosX
则此时4abcosX=0,则若a,b不是非零向量,cosX为0,所以a的方向与b的方向垂直