已知a,b,c,∈R,求证：a^2b^2+b^2c^2+c^2a^≥abc(a+b+c)

题目

已知a,b,c,∈R,求证：a^2b^2+b^2c^2+c^2a^≥abc(a+b+c)

答案

a^2b^2=2*（ab）^2/2
同理分解b^2c^2,c^2a^2
依题意,
由均值定理变形可得：
(（ab）^2+（bc）^2)/2>ab^2c 方程1
同理(（ac）^2+（bc）^2)/2>abc^2 方程2
(（ab）^2+（ac）^2)/2>a^2 bc 方程3
方程1+方程2+方程3,得：
a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 > ab^2c+ abc^2+ a^2 bc= abc(a+b+c)
•所以a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2>abc(a+b+c)