求函数f(x)=tan2x+2atanx+5,x∈[π4,π2)的值域(其中a为常数).
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求函数f(x)=tan2x+2atanx+5,x∈[π4,π2)的值域(其中a为常数).
题目
求函数f(x)=tan
2
x+2atanx+5,
x∈[
π
4
,
π
2
)
答案
∵
x∈[
π
4
,
π
2
)
,∴tanx≥1.令 tanx=t≥1,则函数f(x)=h(t)=t
2
+2at+5,对称轴为 t=-a,
当a≥-1时,-a≤1,t=1时,函数 h(t)有最小值为6+2a,原函数值域为[6+2a,+∞).
当a<-1时,-a>1,t=-a 时,函数 h(t)有最小值为 5-a
2
,原函数值域为[5-a
2
,+∞).
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