将函数f(x)=x3+3x2+3x的图象按向量a平移后得到函数g(x)的图象,若函数g(x)满足g(1-x)+g(1+x)=1,则向量a的坐标是(  ) A.(-1,-1) B.(2,32) C.(2

将函数f(x)=x3+3x2+3x的图象按向量a平移后得到函数g(x)的图象,若函数g(x)满足g(1-x)+g(1+x)=1,则向量a的坐标是(  ) A.(-1,-1) B.(2,32) C.(2

题目
将函数f(x)=x3+3x2+3x的图象按向量
a
平移后得到函数g(x)的图象,若函数g(x)满足g(1-x)+g(1+x)=1,则向量
a
的坐标是(  )
A. (-1,-1)
B. (2,
3
2

C. (2,2)
D. (-2,-
3
2
答案
函数f(x)=x3+3x2+3x=(x+1)3-1,的对称中心为A(-1,-1),
∵g(1-x)+g(1+x)=1,可知曲线g(x)的对称中心为B(1,
1
2
),
则根据向量平移的定义可知
a
=
AB
=(1-(-1),
1
2
-(-1))=(2,
3
2
),
故选:B
根据题中g(1-x)+g(1+x)=1可知g(x)的对称中心为(1,12),问题转化为寻找函数f(x)=x3+3x2+3x的图象的对称中心,找到之后再通过f(x)与g(x)的对称中心之间的关系可得到平移方向,问题变得容易解出.

函数的图象与图象变化.

本题考查了两个函数图象之间的平移,注意平移的顺序,以及考查了向量在几何中的应用,根据条件求出两个函数的对称中心是解决本题的关键.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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