设F1,F2分别是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左、右焦点,过F1斜率为1的直线l与E相交于A,B两点,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列,求E的离心率

题目

设F1,F2分别是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左、右焦点,过F1斜率为1的直线l与E相交于A,B两点,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列,求E的离心率

答案

|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列
则：2AB=AF2+BF2
即：2AF1+2BF1=AF2+BF2 ①
设A(x1,y1),B(x2,y2)
则由焦半径公式：AF1=a+ex1,AF2=a-ex1,BF1=a+ex2,BF2=a-ex2
代入①式得：4a+2e(x1+x2)=2a-e(x1+x2)
3e(x1+x2)=-2a
直线L：y=x+c
代入椭圆得：x²/a²+(x+c)²/b²=1
即：(1/a²+1/b²)x²+2cx/b²+c²/b²-1=0
由韦达定理：x1+x2=-(2c/b²)/(1/a²+1/b²)=-2ca²/(a²+b²)
代入②得：-6eca²/(a²+b²)=-2a
-3ac²/(a²+b²)=-a
3c²=a²+b²
3c²=a²+a²-c²
2c²=a²
e²=1/2
所以,离心率e=√2/2