已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间【0,2】上是增函数.若方程f(x)=m(m＞0)在区间【-8,8】上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4

题目

已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间【0,2】上是增函数.若方程f(x)=m(m＞0)在区间【-8,8】上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4=写出解题过程 .为什么说这个是周期为8 的函数,怎么看的啊?

答案

解;令x=t+2 代入f(x-4)=-f(x)得 f（t+2-4）=-f（t+2）
即f（t-2）=-f（t+2）
又f（x）是奇函数 f（t-2）= -f（2-t）
所以 - f（t+2）= - f（2-t） 即 f（2+t）=f（2-t） …………（1）式
即直线x=2是f（x）对称轴
对于定义域包含0的奇函数,显然有 f（0）=0
也可简单算得 f（-4）= -f（0）=0 ,f（x）以8为周期:f（-8）=0
f（4）=0 ,f（8）=0
（画图说明） 先画[0,2]一段,可以任意画一段 只要满足增函数即可 注意f（0）=0
再根据x=2是对称轴画[2,4]段
在根据f（x）是奇函数 图像关于原点对称 画[-4,0]那段
再根据x=2是对称轴 画[4,8]段 其和[0,-4]段关于x=2对称
最后根据原点对称画[-8,-4]段
画完后你会发现 要求f(x)=m(m>0) 的解 就是求y=m（m>0）与f（x）的交点
根据图你可以得到 共有四个交点 其中两个在区间（-8,-4）关于x=-6对称 另外两个在区间（0,4）关于x=2对称
所以x1+x2+x3+x4=2*（-6）+2*2=-8
参考以下:
f（x）为奇函数,f（0）=0,
f（x-4）=-f（x）,f(4)=0,
f(x-8)=-f（x-4）=f（x）,所以f（x）是周期为8的函数,f（8）=0.
在区间【0,2】上是增函数,那么在此区间f(x)>0,根据f（x-4）=-f（x）,
在区间【4,8】f(x)